查看“数学物理方法”的源代码
←
数学物理方法
跳转至:
导航
、
搜索
因为以下原因,你没有权限编辑本页:
您请求的操作仅限属于该用户组的用户执行:
用户
您可以查看并复制此页面的源代码:
[[文件:Review-c1-c5.jpg|800px]] [[文件:Review-c8.jpg|800px]] [[文件:Review-c9-c11.jpg|800px]] [[文件:Review-c12.jpg|800px]] <!-- === 复变函数 === ---- ====复变函数可导的充要条件==== <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>可导的充要条件为:偏导<math>\frac{\partial u}{\partial x}</math>、<math>\frac{\partial u}{\partial y}</math>、<math>\frac{\partial v}{\partial x}</math>、<math>\frac{\partial v}{\partial y}</math>存在、连续,且满足柯西-黎曼条件。 ====柯西-黎曼条件==== #笛卡尔系 :<math>\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{array}\right.\end{align}</math> #极坐标系:<math>\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial v}{\partial \varphi},\\ \frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \varphi}=-\frac{\partial v}{\partial \rho}. \end{array}\right.\end{align}</math> ====已知实部(虚部)求虚部(实部)==== 一般解法:曲线积分法。 === 复变函数积分 === ---- === 幂级数展开 === ---- === 留数定理 === ---- === 傅里叶变换 === ---- ==== 傅里叶展开小结 ==== <math>\begin{align}f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sum_{n=1}^\infty B_k\sin\frac{n\pi x}{l},&~~~(f(0)=f(l)=0)\\ \sum_{n=0}^\infty B_k\sin\frac{(n+1/2)\pi x}{l},&~~~(f(0)=f'(l)=0)\\ \sum_{n=0}^\infty A_k\cos\frac{(n+1/2)n\pi x}{l},&~~~(f'(0)=f(l)=0)\\ \sum_{n=0}^\infty A_k\cos\frac{n\pi x}{l}.&~~~(f'(0)=f'(l)=0) \end{array}\right.\end{align}</math> ==== 常用公式 ==== 傅里叶展开的时候,经常涉及到形如<math>\int_0^1\xi^n\sin\lambda \xi{\rm d}\xi</math>和<math>\int_0^1\xi^n\cos\lambda\xi{\rm d}\xi</math>的积分。可以利用<math>\xi^ne^{i\lambda\xi}=\frac{1}{i^n}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}\lambda^n}e^{i\lambda\xi}</math>,将其化简。最终结果为, <math>\begin{align} \int_0^1\xi^n\sin\lambda\xi{\rm d}\xi=\left\{\begin{array}{ll} (-1)^{k+1}\frac{{\rm d}^{2k+1}}{{\rm d}\lambda^{2k+1}}\frac{\sin\lambda}{\lambda},&(n=2k+1)\\ (-1)^{k+1}\frac{{\rm d}^{2k}}{{\rm d}\lambda^{2k}}\frac{\cos\lambda-1}{\lambda},&(n=2k) \end{array}\right.~~~(k=0,1,2,\ldots)\end{align}</math> <math>\begin{align} \int_0^1\xi^n\cos\lambda\xi{\rm d}\xi=\left\{\begin{array}{ll} (-1)^{k+1}\frac{{\rm d}^{2k+1}}{{\rm d}\lambda^{2k+1}}\frac{\cos\lambda-1}{\lambda},&(n=2k+1)\\ (-1)^{k}\frac{{\rm d}^{2k}}{{\rm d}\lambda^{2k}}\frac{\sin\lambda}{\lambda},&(n=2k) \end{array}\right.~~~(k=0,1,2,\ldots) \end{align}</math> === 拉普拉斯变换 === ---- <math>\bar f(p)=\int_0^\infty f(t)e^{-pt}{\rm d}t</math>, <math>~~~~~~({\rm Re}p>0</math>;<math>{\rm Re}p</math>足够大,使得变换收敛<math>)</math> <math>{\cal L}[t^ne^{st}]=\frac{n!}{(p-s)^{n+1}},</math> <math>{\cal L}[t^nf(t)]=(-1)^n\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}p^n}\bar f(p).</math> === 数学物理定解问题 === ---- === 分离变数法 === ---- === 级数解法、本征值问题 === ---- === 球函数 === ---- ==== 轴对称情形 ==== <math>u(r,\theta)=\sum_{l=0}^\infty\left(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right) {\rm P}_l(\cos\theta) </math> ==== 一般情形 ==== <math>\begin{align} u(r,\theta,\varphi)=&\sum_{m=0}^\infty \sum_{l=m}^\infty\left(A_l^m r^l+\frac{B_l^m}{r^{l+1}}\right) {\rm P}_l^m(\cos\theta)\cos m\varphi\\ &+\sum_{m=1}^\infty \sum_{l=m}^\infty\left(C_l^m r^l+\frac{D_l^m}{r^{l+1}}\right) {\rm P}_l^m(\cos\theta)\sin m\varphi \end{align}</math> === 柱函数 === ---- [[文件:教学-数理-柱函数-1.png|800px]] [[文件:教学-数理-柱函数-2.png|800px]] === 格林函数法 === ---- ==== 主要思想 ==== <math> \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} \Delta u=f({\bf r}),\\ \left.\left(\alpha \frac{\partial u}{\partial n}+\beta u\right)\right|_\Sigma=\varphi(M), \end{array} \right. \end{align} </math> 转化为求解格林函数边值问题 第一类边界条件:<math> \begin{align}&\left\{\begin{array}{l} \Delta G=\delta({\bf r}-{\bf r}_0),\\ G|_\Sigma=0, \end{array} \right.&&u({\bf r})=\iiint_TG({\bf r},{\bf r}_0)f({\bf r}_0){\rm d} V_0+\iint_{\Sigma}\varphi({\bf r_0})\frac{\partial G({\bf r},{\bf r}_0)}{\partial n_0}{\rm d} S_0, \end{align}</math> 第二类边界条件:<math> \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} \Delta G=\delta({\bf r}-{\bf r}_0)-\frac{1}{V_T},\\ \frac{\partial G}{\partial n}|_\Sigma=0, \end{array} \right.&&u({\bf r})=\iiint_TG({\bf r},{\bf r}_0)f({\bf r}_0){\rm d} V_0-\iint_{\Sigma}\varphi({\bf r_0})G({\bf r},{\bf r}_0){\rm d} S_0,\end{align}</math> 第三类边界条件: <math> \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} \Delta G=\delta({\bf r}-{\bf r}_0),\\ \left(\alpha \frac{\partial G}{\partial n}+\beta G\right)|_\Sigma=0, \end{array} \right.&&u({\bf r})=\iiint_TG({\bf r},{\bf r}_0)f({\bf r}_0){\rm d} V_0-\frac{1}{\alpha}\iint_{\Sigma}\varphi({\bf r_0})G({\bf r},{\bf r}_0){\rm d} S_0, \end{align}</math> === 积分变换法 === ---- === 保角变换法 === ---- === 非线性数学物理问题简介 === ---- -->
返回
数学物理方法
。
导航菜单
个人工具
登录
请求账户
命名空间
页面
讨论
变种
视图
阅读
查看源代码
查看历史
更多
搜索
导航
首页
最近更改
随机页面
帮助
工具
链入页面
相关更改
特殊页面
页面信息