理论力学 - 版本历史

2021年6月9日 (三) 09:02 宋玉坤

2021-06-09T09:02:50Z

宋玉坤：/* 有心力 */

2019-04-06T15:30:01Z

‎有心力

宋玉坤：/* 有心力 */

2019-04-06T15:26:15Z

‎有心力

宋玉坤：/* 有心力 */

2019-04-06T15:23:39Z

‎有心力

宋玉坤：/* 常用数学公式 */

2019-04-06T15:22:35Z

‎常用数学公式

宋玉坤：/* 刚体运动学 */

2018-11-12T11:55:03Z

‎刚体运动学

宋玉坤：/* 刚体运动学 */

2018-11-12T11:53:59Z

‎刚体运动学

宋玉坤：/* 常用数学公式 */

2018-10-10T12:28:49Z

‎常用数学公式

宋玉坤：/* 常用数学公式 */

2018-09-24T03:37:10Z

‎常用数学公式

2018年8月22日 (三) 16:55 宋玉坤

2018-08-22T16:55:03Z

@@ 第1行： / 第1行： @@
 <!-- [[文件:Wiki.gif|right]] -->
 参考书籍：
 #[http://www.amazon.cn/gp/product/B0011C0H0O 朗道，栗弗席兹，《力学（第3版）》（英文影印版），世界图书出版公司]

@@ 第143行： / 第143行： @@
 c<0,&-2<\alpha<0
 \end{array}\right.\end{align}</math>
-#质点在有心力场中运动的轨道封闭的条件：<math>\Delta\theta=2\int_{r_{\rm min}}^{r_{\rm max}}\frac{J/r^2{\rm d}r}{\sqrt{2m(E-V(r))}}=\pi \times</math>有理数
+#轨道方程：<math>\theta=\int \frac{J/r^2{\rm d}r}{\sqrt{2m(E-V(r))}} </math>；质点在有心力场中运动的轨道封闭的条件：<math>\Delta\theta=2\int_{r_{\rm min}}^{r_{\rm max}}\frac{J/r^2{\rm d}r}{\sqrt{2m(E-V(r))}}=\pi \times</math>有理数
 #圆形轨道的稳定性：从等效一维运动的角度讨论，稳定性意味着粒子束缚在一个势阱中运动。因此稳定性条件与前边的有限性条件相同。
 #万有引力（平方反比引力）作用下运动方程的解：<math>r=\frac{p}{1+e\cos\theta}.\hspace{3ex}\left(p=\frac{J^2}{mk^2}，e=\sqrt{1+\frac{2EJ^2}{mk^4}}\right)</math>

@@ 第136行： / 第136行： @@
 ----
-#质点在有心力场中运动 <math>\Longrightarrow</math> 角动量守恒（<math>\dot{\boldsymbol{J}}=0</math>）<math>\Longrightarrow</math> 平面运动
+#质点在有心力场中运动 <math>\Longrightarrow</math> <span style="color: blue">'''角动量守恒'''</span>（<math>\boldsymbol{J}=\boldsymbol{C}_1</math>）<math>\Longrightarrow</math> 平面运动
-#有心力必定为保守力，<math>\boldsymbol{F}=-\nabla U(r)</math>，其中 <math>U(r)</math> 为势能 <math>\Longrightarrow </math> 机械能守恒
+#有心力必定为保守力，<math>\boldsymbol{F}=-\nabla U(r)</math>，其中 <math>U(r)</math> 为势能 <math>\Longrightarrow </math> <span style="color: blue">'''机械能守恒'''</span> (<math>E=T+U(r)=C_2</math>)
 #质点在有心力场中的运动等价于一维运动：<math>m\ddot r=-\nabla V(r)</math><math>~~~~~\left(V(r)=U(r)+\frac{\boldsymbol{J}^2}{2mr^2}\right)</math>
 #轨道有限的条件：有效势能<math>V(r)</math>存在势阱，能量<math>E</math>小于势阱两边势垒的高度，从而质点能够束缚在势阱中运动。         <br />假设势能取幂函数形式，<math>U(r)=cr^\alpha</math>，根据上述条件有<math>V^\prime(r)=0,V^{\prime\prime}(r)>0</math>，从而得到轨道有限的必要条件为<math>\begin{align}\left\{\begin{array}{ll}

@@ 第137行： / 第137行： @@
 #质点在有心力场中运动 <math>\Longrightarrow</math> 角动量守恒（<math>\dot{\boldsymbol{J}}=0</math>）<math>\Longrightarrow</math> 平面运动
-#有心力必定为保守力，<math>\boldsymbol{F}=-\nabla U(r)</math>，其中 <math>U(r)</math> 为势能
+#有心力必定为保守力，<math>\boldsymbol{F}=-\nabla U(r)</math>，其中 <math>U(r)</math> 为势能 <math>\Longrightarrow </math> 机械能守恒
 #质点在有心力场中的运动等价于一维运动：<math>m\ddot r=-\nabla V(r)</math><math>~~~~~\left(V(r)=U(r)+\frac{\boldsymbol{J}^2}{2mr^2}\right)</math>
 #轨道有限的条件：有效势能<math>V(r)</math>存在势阱，能量<math>E</math>小于势阱两边势垒的高度，从而质点能够束缚在势阱中运动。         <br />假设势能取幂函数形式，<math>U(r)=cr^\alpha</math>，根据上述条件有<math>V^\prime(r)=0,V^{\prime\prime}(r)>0</math>，从而得到轨道有限的必要条件为<math>\begin{align}\left\{\begin{array}{ll}

@@ 第181行： / 第181行： @@
 \text{齐次微分方程} & y^\prime=\varphi\left(\frac{y}{x}\right) & \int\frac{{\rm d}\tilde y}{\varphi(\tilde y)-\tilde y}=\ln x+C,~~~\left(\tilde y\equiv\frac{y}{x}\right)\\\hline
 \text{线性微分方程} & y^\prime+P(x)+Q(y)=0 & y=e^{-\int P(x){\rm d}x}\left[-\int Q(x)e^{\int P(x){\rm d}x}{\rm d}x+C\right]\\\hline
-\text{伯努利方程} & y^\prime+P(x)y+Q(y) y^n=0 & \frac{1}{1-n}\tilde y^\prime+P(x)\tilde y^\prime+Q(x)=0,~~~(\tilde y=y^{1-n})\\\hline
+\text{伯努利方程} & y^\prime+P(x)y+Q(y) y^n=0 & \frac{1}{1-n}\tilde y^\prime+P(x)\tilde y+Q(x)=0,~~~(\tilde y=y^{1-n})\\\hline
 \end{array}\end{align}</math>
 </li>

@@ 第268行： / 第268行： @@
 \hat I_{yy}=\int\left(x^2+z^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
 \hat I_{zz}=\int\left(x^2+y^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\end{align}\hspace{5ex}</math>
-<math>\begin{align}I_{xy}=-\int xy\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
+<math>\begin{align}\hat I_{xy}=-\int xy\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
 \hat I_{yz}=-\int yz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
-\hat I_{xz}=-\int xz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}.\end{align}</math>
+\hat I_{xz}=-\int xz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}.\end{align}</math><br>
 注意这里的定义与周衍柏教材中的定义的对应：对角元相等，即<math>\hat I_{xx}=I_{xx},\hat I_{yy}=I_{yy},\hat I_{zz}=I_{zz}</math>；非对角元相差一个负号，即<math>\hat I_{xy}=-I_{xy},\hat I_{yz}=-I_{yz},\hat I_{xz}=-I_{xz}</math>
 </li>

@@ 第257行： / 第257行： @@
 <li> 刚体转动惯量张量为 <br/>
-<math>\begin{align}\hat A=\left(\begin{array}{ccc}
+<math>\begin{align}\hat I=\left(\begin{array}{ccc}
-I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz}\\
+\hat I_{xx} & \hat I_{xy} & \hat I_{xz}\\
--I_{xy} & -I_{yy} & -I_{yz}\\
+\hat I_{xy} & \hat I_{yy} & \hat I_{yz}\\
--I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz}
+\hat I_{xz} & \hat I_{yz} & \hat I_{zz}
 \end{array}\right)\end{align}</math>
 其中惯量张量矩阵元的一般定义式为
-<math>\begin{align}I_{ij}=\int \left(\boldsymbol{r}^2\delta_{ij}-r_ir_j\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}\end{align}</math>，即<br/>
+<math>\begin{align}\hat I_{ij}=\int \left(\boldsymbol{r}^2\delta_{ij}-r_ir_j\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}\end{align}</math>，即<br/>
-<math>\begin{align}I_{xx}=\int\left(y^2+z^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
+<math>\begin{align}\hat I_{xx}=\int\left(y^2+z^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
-I_{yy}=\int\left(x^2+z^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
+\hat I_{yy}=\int\left(x^2+z^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
-I_{zz}=\int\left(x^2+y^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\end{align}\hspace{5ex}</math>
+\hat I_{zz}=\int\left(x^2+y^2\right)\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\end{align}\hspace{5ex}</math>
-<math>\begin{align}I_{xy}=\int xy\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
+<math>\begin{align}I_{xy}=-\int xy\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
-I_{yz}=\int yz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
+\hat I_{yz}=-\int yz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r},\\
-I_{xz}=\int xz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}.\end{align}</math>
+\hat I_{xz}=-\int xz\rho(\boldsymbol{r}){\rm d}^3\boldsymbol{r}.\end{align}</math>
 </li>
-<li>刚体角动量为 <math>\boldsymbol{J}=\hat{\boldsymbol{A}}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>，在笛卡尔系中写为 <math>\begin{align}
+<li>作定点运动的刚体，角动量为 <math>\boldsymbol{J}=\hat{\boldsymbol{I}}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>，动能为<math>T=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\hat I}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>。<br>
 \left(\begin{array}{l}J_x\\J_y\\J_z\end{array}\right)
-=\left(\begin{array}{rrr}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{array}\right)
+=\left(\begin{array}{rrr}\hat I_{xx}&\hat I_{xy}&\hat I_{xz}\\\hat I_{yx}&\hat I_{yy}&\hat I_{yz}\\\hat I_{zx}&\hat I_{zy}&\hat I_{zz}\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{l}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{array}\right)\end{align}</math> <br/>刚体转动动能为 <math>T=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot \hat{\boldsymbol{A}}\cdot\boldsymbol{\omega}=\frac{1}{2}I_n\omega^2</math>，其中 <math>\vec\omega=\omega\hat e_n</math>，<math>I_n\equiv \hat e_n\cdot\hat{\boldsymbol{A}}\cdot\hat e_n</math> 为刚体相对于过质心且沿 <math>\hat e_n</math> 方向的轴的转动惯量。<br/>空间转动变换，可以将转动惯量张量 <math>\hat{\boldsymbol{A}}</math> 对角化，此时的坐标轴为惯量主轴。<br/>惯量主轴的求解：惯量椭球 <math>\boldsymbol{r}\cdot\hat{\boldsymbol{A}}\cdot\boldsymbol{r}=1</math> 的三个对称轴。</li>
+\left(\begin{array}{l}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{array}\right)\end{align}</math> <br>
 <li>刚体上任意一点的速度：<math>\boldsymbol{ v}_A=\boldsymbol{ v}_O+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{ r}_{OA}</math></li>

@@ 第166行： / 第166行： @@
 \end{array}\right.\end{align}</math></li>
-<li>二阶常系数非齐次线性微分方程 <math> \ddot x+p\dot x+q x=f(x)</math>，通解为 <math>y=y^*+Y</math>，其中 <math>Y</math> 是对应的齐次方程即当 <math>f(x)=0</math> 的时候方程的通解，而 <math> y^* </math> 是非齐次方程的特解。当 <math>f(x)=e^{cx}P_n(x) </math> 时（<math>P_n(x) </math> 为 <math>x</math> 的<math>n</math> 次多项式，<math>c</math> 为复数），特解 <math>y^* </math> 有简单的形式。<br/>
+<li>二阶常系数非齐次线性微分方程 <math> \ddot x+p\dot x+q x=f(t)</math>，通解为 <math>x=x^*+X</math>，其中 <math>X</math> 是对应的齐次方程即当 <math>f(t)=0</math> 的时候方程的通解，而 <math> x^* </math> 是非齐次方程的特解。当 <math>f(t)=e^{ct}P_n(t) </math> 时（<math>P_n(t) </math> 为 <math>t</math> 的<math>n</math> 次多项式，<math>c</math> 为复数），特解 <math>x^* </math> 有简单的形式。<br/>
-取 <math>f(x)=e^{\lambda x}\left(P_n(x)\cos\omega t+P_l(x)\sin\omega t\right)</math>，则
+取 <math>f(t)=e^{\lambda t}\left(P_n(t)\cos\omega t+P_l(t)\sin\omega t\right)</math>，则
-<math>\begin{align}y^*=\left\{\begin{array}{l@{~~~~~}l}
+<math>\begin{align}x^*=\left\{\begin{array}{l@{~~~~~}l}
-    e^{\lambda x}\left(Q_m(x)\cos\omega t+R_m(x)\sin\omega t\right),&\left(\lambda+i\omega\text{不是特征方程}r^2+pr+q=0\text{的根}\right)\\
+    e^{\lambda t}\left(Q_m(t)\cos\omega t+R_m(t)\sin\omega t\right),&\left(\lambda+i\omega\text{不是特征方程}r^2+pr+q=0\text{的根}\right)\\
-    xe^{\lambda x}\left(Q_m(x)\cos\omega t+R_m(x)\sin\omega t\right),&\left(\lambda+i\omega\text{是特征方程}r^2+pr+q=0\text{的根}\right)
+    te^{\lambda t}\left(Q_m(t)\cos\omega t+R_m(t)\sin\omega t\right),&\left(\lambda+i\omega\text{是特征方程}r^2+pr+q=0\text{的根}\right)
 \end{array}\right.\end{align}</math>
-上式中 <math>Q_m(x)=a_0+a_1 x+\ldots +a_m x^m,~~~R_m(x)=b_0+b_1 x+\ldots+b_m x^m</math>，其中 <math>m={\rm max}(l,n)</math>。将 <math> Q_m(x),~R_m(x)</math> 的形式代回原非齐次方程，让对应项的系数相等从而解出 <math>a_1,a_2,\ldots,a_m,b_1,b_2,\ldots,b_m</math>。这样方程的通解 <math>y=y^*+Y</math> 就完全解出。
+上式中 <math>Q_m(t)=a_0+a_1 t+\ldots +a_m t^m,~~~R_m(t)=b_0+b_1 t+\ldots+b_m t^m</math>，其中 <math>m={\rm max}(l,n)</math>。将 <math> Q_m(t),~R_m(t)</math> 的形式代回原非齐次方程，让对应项的系数相等从而解出 <math>a_1,a_2,\ldots,a_m,b_1,b_2,\ldots,b_m</math>。这样方程的通解 <math>x=x^*+X</math> 就完全解出。
 </li>

@@ 第162行： / 第162行： @@
 <math>\begin{align}x(t)=\left\{\begin{array}{ll}
 C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t},& (2~个不同实根~ r_1\neq r_2)\\
-\left(C_1+C_2x\right)e^{rt},& (2重实根~ r_1=r_2\equiv r)\\
+\left(C_1+C_2t\right)e^{rt},& (2重实根~ r_1=r_2\equiv r)\\
 e^{\alpha t}\left(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t\right),&(2~个共轭复根~  r_{1,2}=\alpha\pm i\beta)
 \end{array}\right.\end{align}</math></li>

@@ 第7行： / 第7行： @@
 #[http://www.amazon.cn/经典力学的数学方法-V-I-Arnold/dp/B001174V74 Arnold，《经典力学的数学方法》（英文影印版），世界图书出版公司]
 #;经典名著，内容有深度，数学要求略高。可供查阅。
-#秦敢、向守平，《力学与理论力学（下册）》，科学出版社。
+#[https://www.amazon.cn/gp/product/B075GBJ6KP 秦敢、向守平，《力学与理论力学（下册）》，科学出版社]
 #;中国科学技术大学的经典教材，以分析力学为主，内容精炼（前四章150页），从易到难，适合于中国学生学习使用。