核子结构

根据夸克模型，质子由三个夸夸uud组成，中子由三个夸克udd组成，自旋味道波函数为

$ \begin{align} |p,\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{18}}\left[uud(\uparrow\downarrow\uparrow+\downarrow\uparrow\uparrow-2\uparrow\uparrow\downarrow)+(\text{轮换})\right], \end{align} $

夸克质量约为300 MeV，处于$ L=0 $的基态，没有相对运动。

而根据部分子模型，质子由无穷数量的夸克、反夸克和胶子（统称为“部分子”）组成，组分之间的相互作用为量子色动力学。描述质子性质的物理量为部分子分布函数，他们给出了质子内某种部分子的数密度。

光锥动量定义为$ p^\pm\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(p^0\pm p^z) $，假定质子沿z方向运动，则质子的四动量为$ \begin{align}p^\mu=\left(p^+,\frac{M^2}{2p^+},\vec 0_\perp\right)\end{align} $.质子的夸克分布函数定义为

$ \begin{align} f_q(x)=\int\frac{d\xi^-}{4\pi}e^{ixp^+\xi^-}\left\langle p\left|\bar\psi_q(0){\cal L}(0,\xi^-)\gamma^+\psi_q(\xi^-)\right|p\right\rangle, \end{align} $

表示质子内动量分数为x、味道为q的夸克的数密度。上式中出现的$ {\cal L} $为规范链，它的存在确保$ f_q(x) $为规范不变的物理观测量。规范链的定义为

$ \begin{align} {\cal L}(0,\xi^-)={\cal P}\exp\left\{-ig\int_0^{\xi^-} A^{a+}(\eta^-)T^ad\eta^-\right\} \end{align} $

上式中$ {\cal P} $为路径变序算子，它对几个算符乘积的作用效果为：将路径上更靠近终点的算子移动到左边，靠近起始点的算子移动到右边；a为色指标，$ T^a $为基础表示中的$ SU(3) $群生成元。

反夸克分布函数

$ \begin{align} f_\bar q(x)=\int\frac{d\xi^-}{4\pi}e^{ixp^+\xi^-}\left\langle p\left|\psi_q(0){\cal L}(0,\xi^-)\gamma^+\bar\psi_q(\xi^-)\right|p\right\rangle. \end{align} $

根据费米子场的反对易性质，有 $ f_{\bar q}(x)=-f_q(-x) $.

胶子分布函数

$ \begin{align} G(x)=\frac{1}{xp^+}\int\frac{d\xi^-}{2\pi}e^{ixp^+\xi^-}\left\langle p\left|F^{+\nu}(0)\tilde{\cal L}(0,\xi^-){F_\nu}^+(\xi^-)\right|p\right\rangle. \end{align} $

上式中$ \tilde {\cal L} $为伴随表示中的规范链，形式与基础表示中的类似，只需将$ T^a $替换为伴随表示中的$ SU(3) $群生成元 $ (T^a)_{bc}\equiv -if^{abc} $.